Phương pháp bình phương tối thiểu (least squares method) là gì? đặc điểm và ví dụ

Pmùi hương pháp bình pmùi hương bé dại nhất là 1 trong giữa những áp dụng đặc trưng tuyệt nhất trong tiennghich.mobiệc tính giao động những hàm. Ý tưởng là tìm một mặt đường cong làm thế nào cho, giới thiệu một tập thích hợp các cặp theo sản phẩm công nghệ trường đoản cú, hàm này giao động xuất sắc hơn tài liệu. Hàm có thể là đường trực tiếp, đường cong bậc hai, đường cong hình khối hận, v.v..

You watching: Phương pháp bình phương tối thiểu (least squares method) là gì? đặc điểm và ví dụ

Ý tưởng của phương pháp là tối tgọi hóa tổng bình pmùi hương của tiennghich.mobiệc khác hoàn toàn trong tọa độ (thành phần Y), giữa các điểm được sinh sản vị hàm vẫn lựa chọn cùng các điểm ở trong tập tài liệu.

*

Chỉ số

1 phương pháp bình pmùi hương buổi tối thiểu2 bài xích tập đang giải2.1 bài tập 12.2 Bài tập 23 Nó sử dụng để triển khai gì??4 tài liệu tham khảo

Phương pháp bình phương thơm về tối thiểu

Trước lúc chỉ dẫn cách thức, trước tiên họ bắt buộc rõ ràng về "giải pháp tiếp cận xuất sắc hơn" tức là gì. Giả sử rằng họ tra cứu kiếm một chiếc y = b + mx thay mặt tốt nhất cho một tập phù hợp n điểm, ví dụ là (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

*

Nlỗi được hiển thị vào hình trước, nếu như những trở thành x cùng y bao gồm tương quan vì chưng dòng y = b + mx, thì với x = x1, cực hiếm tương xứng của y sẽ là b + mx1. Tuy nhiên, quý giá này khác với cái giá trị thực của y, đó là y = y1.

Nhớ lại rằng vào mặt phẳng, khoảng cách giữa nhì điểm được mang đến theo phương pháp sau:

*

Với suy nghĩ này, nhằm xác định biện pháp lựa chọn loại y = b + mx giao động độc nhất với dữ liệu đã mang lại, buộc phải thực hiện chọn lọc cái về tối tđọc hóa tổng bình pmùi hương của khoảng cách thân các điểm làm tiêu chuẩn và trực tiếp.

Vì khoảng cách giữa những điểm (x1, y1) và (x1, b + mx1) là y1- (b + mx1), nên vụ tiennghich.mobiệc của Cửa Hàng chúng tôi được giảm sút là search các số m và b làm thế nào cho tổng sau là buổi tối thiểu:

*

Dòng thỏa mãn nhu cầu điều kiện này được Điện thoại tư vấn là "xấp xỉ mặt đường bình phương nhỏ dại tuyệt nhất với các điểm (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Lúc vụ tiennghich.mobiệc được xử lý, họ chỉ cần lựa chọn 1 cách thức nhằm tìm kiếm xấp xỉ bình phương thơm bé dại tuyệt nhất. Nếu các điểm (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) phần lớn nằm ở mẫu y = mx + b, họ sẽ buộc phải được cùng con đường và:

*

Trong biểu thức này:

*

Cuối cùng, nếu các điểm ko thẳng mặt hàng, thì y-Au = 0 và vấn đề rất có thể được đưa thành tìm kiếm một vectơ hoặc làm sao cho tiêu chí Euclide là buổi tối tgọi.

*

Tìm vectơ thu nhỏ dại ko khó nlỗi các bạn tưởng. Vì A là ma trận nx2 và u là ma trận 2 × 1, đề nghị ta tất cả vectơ Au là vectơ trong Rn và nó ở trong về hình hình họa của A, là không gian con của Rn cùng với form size ko to hơn nhị.

Chúng tôi đã giả sử rằng n = 3 để chỉ ra rằng các bước như thế nào cần được tuân theo. Nếu n = 3, ảnh của A sẽ là mặt phẳng hoặc con đường thẳng trải qua cội tọa độ.

*

Đặt v là vectơ thu bé dại. Trong hình họ quan tiền sát thấy y-Au được thu nhỏ Khi nó trực giao cùng với hình ảnh của A. Nghĩa là, trường hợp v là vectơ thu nhỏ dại, thì điều này xảy ra:

*

Sau đó, chúng ta cũng có thể diễn đạt đều điều trên Theo phong cách này:

*

Như vậy chỉ có thể xẩy ra nếu:

*

Cuối thuộc, xóa v, bọn họ phải:

*

Có thể có tác dụng vấn đề này bởi vì AtA cần thiết đảo ngược miễn sao n điểm được hỗ trợ bên dưới dạng dữ liệu ko được cùng đường.

See more: Top 10 Bộ Phim Viễn Tưởng Hay Nhất Mọi Thời Đại Bạn Nên Xem, Top 20 Phim Khoa Học Viễn Tưởng Hay

Bây giờ, giả dụ cụ vày search tìm một chiếc, Shop chúng tôi ước ao tìm kiếm một parabol (biểu thức của nó sẽ sở hữu được dạng y = a + bx + cx2) đó là một dao động tốt rộng cùng với n điểm tài liệu, quá trình sẽ tiến hành trình bày sau đây.

Nếu n điểm dữ liệu nằm trong parabola đã nói, thì nó đã phải:

*

Sau đó:

*

Theo bí quyết tương tự như chúng ta có thể tiennghich.mobiết y = Au. Nếu toàn bộ các điểm không phía bên trong parabol, họ gồm y-Au không giống 0 so với ngẫu nhiên vectơ u nào với vụ tiennghich.mobiệc của chúng ta lại là: tra cứu một vectơ u trong R3 làm thế nào để cho định nút của chính nó | | y-Au | | càng nhỏ tuổi càng giỏi.

Bằng cách tái diễn quy trình trước kia, bạn có thể cho vectơ được kiếm tìm kiếm:

*

những bài tập đã giải quyết

các bài tập luyện 1

Tìm chiếc tương xứng tuyệt nhất với các điểm (1,4), (-2,5), (3, -1) cùng (4,1).

Giải pháp

Chúng tôi phải:

*

Sau đó:

*

*

Do kia, chúng tôi Tóm lại rằng dòng phù hợp độc nhất vô nhị cùng với những điểm được đưa ra bởi:

*

các bài tập luyện 2

Giả sử rằng một vật dụng thể được thả từ độ cao 200 m. Trong lúc bổ, những giải pháp tiếp sau đây được thực hiện:

*

Chúng ta hiểu được độ cao của đồ thể nói, sau khoản thời gian đã qua 1 thời gian t, được giới thiệu bởi:

*

Nếu chúng ta mong mỏi đã có được cực hiếm của g, bạn có thể tìm thấy một parabol ngay gần chính xác cùng với năm điểm được giới thiệu vào bảng, cùng cho nên vì thế chúng ta sẽ có thông số đi kèm theo cùng với t2 nó đang là một trong dao động hợp lí cùng với (-1/2) g ví như những phép đo là đúng mực.

Chúng tôi phải:

*

Và sau đó:

*

*

Vì vậy, những điểm tài liệu được điều chỉnh theo biểu thức bậc nhị sau:

*

Sau đó, chúng ta phải:

*

Đây là một trong những quý giá gần phù hợp với cái giá trị chính xác, g = 9,81 m / s2. Để dành được giao động đúng đắn hơn g, rất cần được bước đầu từ bỏ hầu hết quan lại gần kề chính xác rộng.

Nó dùng để gia công gì??

Trong những sự tiennghich.mobiệc xẩy ra vào kỹ thuật tự nhiên và thoải mái hoặc làng mạc hội, thật thuận tiện nhằm tiennghich.mobiết các quan hệ xẩy ra thân các biến đổi khác nhau bằng một số biểu thức toán học.

Ví dụ: chúng ta cũng có thể liên quan cho chi phí (C), thu nhập cá nhân (I) và lợi nhuận (U) trong kinh tế tài chính bởi một bí quyết 1-1 giản:

*

Trong vật lý, chúng ta có thể tương quan mang đến vận tốc gây nên vì trọng lực, thời hạn một thiết bị thể rơi xuống cùng độ cao của trang bị thể theo luật:

*

Trong biểu thức trước so là chiều cao lúc đầu của đồ gia dụng thể đó cùng vo là tốc độ lúc đầu của khách hàng.

Tuy nhiên, kiếm tìm công thức như thế này không phải là một trong trọng trách đối chọi giản; thông thường, tùy trực thuộc vào trình độ lúc làm tiennghich.mobiệc với tương đối nhiều dữ liệu cùng liên tục thực hiện một trong những thử nghiệm (nhằm xác minh rằng hiệu quả chiếm được là không đổi) để tìm kiếm mối quan hệ thân những dữ liệu không giống nhau.

Một phương pháp phổ biến để đã đạt được vấn đề đó là màn trình diễn dữ liệu thu được trong một phương diện phẳng dưới dạng những điểm và tìm kiếm tìm một hàm thường xuyên tiếp cận tối ưu những đặc điểm này.

trong những cách để tìm kiếm hàm "gần đúng nhất" dữ liệu đang chỉ ra rằng bằng phương thức bình phương nhỏ tuổi độc nhất.

See more: Điện Thoại Vsmart Joy 1 Plus Specs, Review And Price, Vsmart Joy 2 Plus

Hình như, nlỗi bọn họ đã thấy vào bài tập, nhờ phương pháp này, bạn cũng có thể dành được xê dịch khá ngay gần cùng với hằng số đồ vật lý.

Tài liệu tsay mê khảo

Đại số con đường tính Charles W Curtis. Springer-VelargKnhì Lai Chung Lý ttiết tài năng cơ phiên bản với các quá trình bất chợt. chúng tôi Springer-Verlag New YorkHội chợ Richar L Burden & J.Doumund. Phân tích số (7ed). Học tập.Stanley I. Grossman. Các áp dụng của Đại số tuyến đường tính. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICOStanley I. Grossman. Đại số tuyến đường tính MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO